Lineární rovnice

1. hodina

Worksheet 1: Lineární rovnice 1

Lineární rovnice jsou učivem většinou 8. ročníku. Navazují na téma „Výrazy”, je tedy dobré v předcházející hodině připomenout číselné výrazy, výrazy s proměnnou, hodnotu výrazu a zápis výrazu podle slovního popisu.

Úvodem této hodiny je seznámit žáky se slovní zásobou, kterou od vyučujícího uslyší či s ní budou pracovat v pracovních listech celé 3 hodiny. Žáci mají k dispozici pracovní list, do kterého plní úkoly a zároveň zde mají možnost sledovat zadání či vysvětlení problému vyslovené učitelem v psané formě.

 

Slovní zásoba: cca 5 min, interakce U–Ž

Učitel napíše na tabuli pět matematických symbolů: +, -, ×, :, = a každý anglicky pojmenuje. Žáci opakují výslovnost. Učitel má připraveno pět kartiček s anglickým názvem (plus, minus, multiply by, divide by, equals (is)). Žáci chodí k tabuli a přiřazují názvy k symbolům, opět slovíčka vysloví.

 

Procvičení slovní zásoby: cca 10 min, interakce U–Ž

• Učitel napíše několik příkladů na tabuli a žáci se snaží příklad přečíst:

5 + 6 = 11	five plus six is eleven
78 – 6 = 71	seventy-eight minus six is seventy one
3 . 3 = 9	three multiplied by three is nine
16 : 4 = 4	sixteen divided by four is four

 

• Učitel diktuje příklady a žáci píšou do pracovního listu podle diktátu. Několik žáků může být u tabule a psát na tabuli.
• Učitel diktuje řadu čísel, žáci zapisují jen výsledky (45:5+8-2…….)

 

Učitel ukáže žákům již připravenou tabulku na tabuli či flip. papíru (může také nakopírovat) a společně odvodí její obsah. Tabulka zůstává žákům k nahlédnutí po celou hodinu.

	Addition	Subtraction	Miltiplication	Division	Equation
we say	to add, plus	to substract from, minus	to multiply by	to divide by	to equal, is
symbol	+	-	x (.)	:	=

 

English Plus: cca 10 min, interakce Ž–Ž

Učitel vyzve žáky k vyplnění cvičení 2 v pracovním listě (překlad anglických slov za použití slovníku). Žáci mohou pracovat ve dvojicích a používat dvojjazyčný slovník. Do tohoto vypracovaného úkolu mohou opět žáci kdykoliv nahlédnout.

Po společné kontrole i na tabuli vyzve učitel žáky ke splnění úkolu 3 v pracovním listě (inverse operation) a opět společně zkontrolují.

Inverse Operation
addition X subtraction	+ X -
multiplication X division	x X :

 

Linear Equation 1 (the variable is on one side of the equals sign): cca 10–15 min, interakce U–Ž

Ústně učitel zadá: I am thinking of a number. I double it and add 6. The answer is 20. What was the number I thought of?

Nechá žáky vypočítat tento problém zpaměti. Vyzve několik žáků k odpovědi. Vysvětlí další možnost výpočtu, a to pomocí rovnic. Vysvětlí, co rovnice je. Žáci mohou sledovat zadání úkolu a vysvětlení rovnice ve cvičení 4 v pracovním listě, kde je nová slovní zásoba z úvodu hodiny zvýrazněna.

Učitel se vždy ujistí, zda žáci rozumějí, a vyzve některé žáky k zopakování v českém jazyce. Řešení úkolů není v pracovních listech úmyslně. Žáci se tak více soustředí a sledují vyučujícího. Po společném vyřešení způsobů A) a B) se pokusí žáci příklady vyřešit sami do pracovních listů (cv.4).

Společná práce na tabuli: Učitel vyslovuje nahlas: It can be also written as an equation. An equation is an expression involving a variable (a letter), which is equal to a number. Solving the equation means finding the value of a variable that makes it true.

2y + 6 = 20, where y is the variable.

To solve this equation we use the table (A) or the inverse operation (B).

A) 2y + 6 = 20

1. the table contains the variable (y), the left side of the equation, the right side of equation

2. the variable (y) equals the numbers 1, 2,….

3. we solve the value of variable on the left side of the equation

4. we solve the value of variable on the right side of the equation

5. we find out the equation of the left side and the right side

Y	1	2	3	4	5	6	7
2y + 6	8	10	12	14	16	18	20
20	20	20	20	20	20	20	20
equation	NO	NO	NO	NO	NO	NO	YES

6. the answer is y = 7

B)  To solve this equation, we need y on its own on the left or right side of equal symbol. We do this by applying the inverse operations to both sides.

1. eliminate „+6“ by doing inverse operation „-6“ to both sides of the equation

2y + 6 - 6 = 20 - 6

2. solve the left side and the right side

2y = 14

3. eliminate „x 2 (.2)“ by doing inverse operation „: 2“ to both sides of the equation

2y : 2 = 14 : 2

4. solve the left side and the right side                                     y = 7
   

   
   

    

 

Žáci se pokusí do svých pracovních listů rovnici vypočítat způsobem A i B. Učitel žáky monitoruje, radí, je-li potřeba.
Rychlejší žáci po vypracování cv. 4 počítají ‚extra work‘.

Řešení extra work: 2x – 17 = 15, x = 16.

 

2. hodina

Worksheet 2: Lineární rovnice 2

 Opakování slovní zásoby: cca 10 min, Ž, U-Ž

 Učitel rozdá žákům pracovní list 2 a vyzve je k vyplnění prvního cvičení, při kterém si zopakují slovní zásobu z 1. hodiny. Při společné kontrole učitel dbá na správnou výslovnost.

 

 
Učitel spustí na interactive board cvičení na procvičení rovnic z 1. hodiny: 
http://www.flashymaths.co.uk/game.asp?n=SolvingEquations&l=equations
Pokud není ve třídě interactive board, učitel vymýšlí jednoduché rovnice na procvičení ekvivalentních úprav rovnic.

 

Liner Equation 2 (a variable is on the both sides of equals sign): cca 10–15min, interakce U–Ž

Učitel stejným způsobem jako v 1. hodině vysvětluje řešení rovnic, tentokrát když proměnná je na levé i pravé straně rovnice. Žáci mohou opět sledovat zadání úkolu a vysvětlení postupu ve cvičení 2 v pracovním listě 2. Učitel se vždy ujistí, zda žáci rozumějí a vyzve některé žáky k zopakování v českém jazyce.

Nahlas učitel zadává úkol: I am thinking of a number. When I triple it and add 5 I get the quintuple (pětinásobek) of the number thought of subtracted by 1.

Žáci slovní popis zapíšou pomocí rovnice. The number thought of is ‚x‘

3x + 5 = 5x – 1

A) using the table

1. the table contains the variable (x), the left side of the equation, the right side of equation

2. the variable (x) equals the numbers 1, 2,….

3. we solve the value of variable on the left side of the equation

4. we solve the value of variable on the right side of the equation

5. we find out the equation of the left side and the right side

x	1	2	3	4	5
3x + 5	8	11	14	17	20
5x – 1	4	9	14	19	24
equation	NO	NO	YES	NO	NO

6. the answer is x = 3

B) using the inverse operation

3x + 5 = 5x - 1

1. Move all variables (x) to the left or right side of the equal symbol and all the numbers to the other side of the equal symbol. When the variable or the number moves over the equal symbol, its sign(plus, minus) changes.

5 + 1 = 5x - 3x

2. Solve the left and right side of the equal symbol

6 = 2x

3. Eliminate „x 2 (.2)“ by doing inverse operation „: 2“ to both sides of the equation

6 : 2 = 2x : 2

4. Solve the left and right side of the equal symbol

3 = x

 

Samostatná práce: cca 10 min, Ž

Žáci se pokusí do svých pracovních listů rovnici vypočítat způsobem A i B. Učitel žáky monitoruje, radí, je-li potřeba.
Pro rychlejší žáky je potřeba připravit „extra work”.
Učitel spustí na interactive board cvičení na procvičení rovnic s proměnnou na levé i pravé straně rovnice:
http://www.flashymaths.co.uk/game.asp?n=SolvingEquations&l=equations
Pokud není ve třídě interactive board, učitel vymýšlí jednoduché rovnice na procvičení ekvivalentních úprav rovnic.

  

Zkouška správnosti řešení: cca 5–10 min, interakce U–Ž

Po procvičení ekvivalentních úprav rovnic učitel přistoupí k ověření správnosti řešení, tedy ke zkoušce. Protože již žáci v 1. i 2. hodině používali názvy levá a pravá strana rovnice (při řešení rovnice tabulkou) a rovnost těchto stran, žáci si jen tuto metodu pro ověření správnosti řešení upevní.
Učitel se vrátí k rovnicím z 1. hodiny a 2. hodiny. Vyzve žáky k přečtení levé a pravé strany rovnice, vypíše levou i pravou stranu rovnice a následně do nich dosadí kořen rovnice.

Check: The left side of the equation (L) must be equal to the right side of the equation (P):
(v češtině píšeme L – levá strana, P – pravá strana)

Back to equation 1:
2y + 6 = 20
           y = 7

Left side: 2y + 6 = 2.7 + 6 = 14 + 6 =20
Right side: 20
Left side is equal to the right side. (My píšeme L = P)

Back to equation 2:
3x + 5 = 5x – 1
           x = 3

Check:
Left side: 3x + 5 = 3. 3 + 5 = 9 + 5 = 14
Right side: 5x – 1 = 5 . 3 – 1 = 15 -1 = 14
L=P

Po společném řešení zkoušek na tabuli učitel vyzve žáky k vypracování úkolu 3 v pracovním listě 2. Učitel žáky monitoruje, radí, je-li potřeba.

 Poznámka: Na této internetové adrese http://www.flashymaths.co.uk/game.asp?n=SolvingEquations&l=equations je hra na procvičení ekvivalentních úprav rovnic. Ve hře jsou použita slovíčka: numbers, letters, multiply, divide.

U každého z těchto názvů jsou dvě šipky směřující opačným směrem (do záporných čísel a do kladných čísel). Dále slovíčko apply=použít. Pokud chceme nový příklad, klikneme na new. Pro procvičení rovnic z 1. hodiny je určen level 1, 2 a 3, pro rovnice z 2. hodiny je určen level 4.

V programu je možné si nastavit proměnnou, tedy pokud stále chcete, aby žáci počítali pouze s proměnnou „x“, nebo aby se proměnné střídaly „y“, „z“, „p“…

Žáci po jednom chodí k tabuli a vždy vyberou ekvivalentní úpravu rovnice a následně kliknou na políčko apply. Pokud je rovnice vyřešena správně, program hlásí „correct”. Pokud nedojdeme ke kořenu rovnice, zadání se stále mění podle našich ekvivalentních úprav a my musíme počítat dál a dál.

 

3. hodina

Worksheet 3: Řešení úloh z praxe

 

Tvoření rovnic: cca 10 min, interakce U–Ž, Ž-Ž

Učitel slovy diktuje zápis rovnic. Žáci je zapisují do cvičení 1, pracovní list 3. Pro slabší žáky je možné mít diktované zadání již v prac. listě předepsané.

Např.
I am thinking of a number. When I triple it, I get 24. (řešení: 3x = 24)
I am thinking of a number. When I double it and add 7, I get 31. (řešení: 2x + 7 = 31)
I am thinking of a number. I multiply it by 4 and subtract 3, the answer is 9 more than the number thought of. (řešení: 4x – 3 = x + 9)
a další.

Žáci vyřeší rovnice i se zkouškou v pracovním listě 3, cvičení 2. Pro rychlejší žáky je opět připraven extra příklad. Žáci pracují samostatně či si pomáhají ve dvojici. Učitel žáky monitoruje a pomáhá, je-li potřeba.

Řešení: z = -1, y = 4, extra work x = 2.

 

Slovní úlohy: cca 10–15 min, interakce U–Ž, Ž–Ž

Učitel vyzve žáky, aby si přečetli text slovní úlohy v pracovním listě 3, cvičení 3. Dbá na porozumění textu všemi žáky. Upozorní na základní kroky řešení slovních úloh (rámeček). Vyvolá dobrovolníky k přečtení textu úlohy i pravidel. Nechá žáky ve dvojici obsah textů prodiskutovat. Následně vyzve dvojice žáků k překladu do ČJ.

Učitel společně se žáky řeší slovní úlohu, dodržuje kroky 1–7. Řešení úlohy (mluvené slovo) probíhá v ČJ, zápis v Aj. Učitel zapisuje na tabuli, žáci do pracovního listu.

 

Solve This Problem: cca 10 min, interakce Ž–Ž, Ž

Žáci řeší slovní úlohu z pracovního listu 3, cvičení 4. Pracují samostatně či ve dvojici. Učitel žáky monitoruje a pomáhá, je-li potřeba. Rychlejší žáci a zároveň správně řešící žáci po splnění úkolu, vyučující posadí k žákům, kteří potřebují pomoc. Ti se snaží spolužákům příklad znovu objasnit, ne řešit za ně! Někteří žáci preferují vysvětlení od svého spolužáka, nestydí se zeptat na otázky, které by možná učiteli nikdy nepoložili, nebo před celou třídou  se nezeptali.

Worksheet 4: Feedback

Feedback: cca 10 min, interakce U–Ž

Společná kontrola. Učitel ukáže žákům již připravené řešení slovní úlohy. Jsou-li dotazy a nejasnosti, spolužáci mohou pomoci s vysvětlením.
Pro vyplnění sebehodnocení se použije pracovní list č. 4.

 

 

 

 

 

HODNOCENÍ

V průběhu hodin učitel (či žáci sebe navzájem) slovně hodnotí a kontrolují jednotlivé úkoly. Žáci mají v pracovním listě 4 sebehodnotící dotazník v českém jazyce ke zhodnocení naplnění jazykových a obsahových očekávaných výstupů. Žáci si vyplněný dotazník vloží do svého portfolia.

 

ŘEŠENÍ

Worksheet 1

Úloha 2  – English Plus

equations – rovnice
to solve – řešit
solve – řešení
inverse operation – opačná operace
variable – proměnná
value of a variable – hodnota proměnné

left side of equation – levá strana rovnice

right side of equation – pravá strana rovnice

Úloha 4 – Linear equation 1

Řešení extra work: 2x – 17 = 15, x = 16.

 

Worksheet 2

v textu

Worksheet 3

Úloha 3

ad 2. 1kg apples Ontario………….x

ad 3.

Price	Ontario
1kg	x
3kg	3x
	Golden
1kg	x-3
2kg	2(x-3)
	Ontario + Golden
3kg + 2kg	3x + 2(x-3)
price in total	CZK 109

ad 4. 3x + 2(x-3) = 109

ad 5. 3x + 2x – 6 = 109

           3x + 2x = 109 +6
                     5x = 115
               5x : 5 = 115 : 5
                        x = 23

ad 6. L= 3x + 2(x-3) = 3.23 + 2(23-3) = 69 + 40 = 109

            P = 109

            L = P

Susan bought 3kg of Ontario apples………………..3x = CZK 69
Susan bought 2kg of Golden apples…………………2(x-3)= CZK 40
Susan paid in total CZK 109…………………………..69 + 40 = CZK 109

7. 1kg Ontario was CZK 23, 1kg Golden was CZK 20.

 

 

Úloha 4 – Solve this problem
A three-day trip: 1. den žáci ušli 20 km, 2. den žáci ušli 14 km a 3. den žáci ušli 10 km.

Ostatní přímo v textu.

  

 

REFLEXE

Problematiku rovnic je nutno procvičit v několika vyučovacích hodinách. Tato CLIL hodina je pouze úvodem do problému rovnic, při níž žáci byli velmi motivováni.
Učitel by měl upozornit na rozdíly v užití matematických značek pro násobení a dělení české matem. značky × anglické matem. značky:

 

CITACE

[cit. 2011-06-10]. Dostupné pod licencí Clker na WWW:

apple

http://www.clker.com/clipart-1992.html

smiley

http://www.clker.com/clipart-4244.html

http://www.clker.com/clipart-4257.html

http://www.clker.com/clipart-4245.html

symbol divide

http://www.clker.com/clipart-29736.html

symbol multiply

http://www.clker.com/clipart-style-multiply.html

 

 

 

 

 

PL_Linearni rovnice PL_Linearni rovnice